Question

【題目】已知函數f（x）=asinxcos2x+1（a，b∈R）．

（1）當a=1，且 時，求f（x）的值域；

（2）若存在實數 使得成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）根據三角函數的誘導公式得到f（x）=2+sinx，再由二次函數解析式，討論軸和區間的關系得到最值；（2）存在實數x使得函數|f（x）|≥a2成立，∴存在t∈[﹣1，1]使得函數|2t2+at|≥a2成立，即存在t∈[﹣1，1]使得2t2+at﹣a2≥0或2t2+at+a2≤0成立.

詳解：

（1）當a=1時，f（x）=sinx﹣cos2x+1=sinx﹣（1﹣2sin2x）+1=2sin2x+sinx

=2﹣；

時，sinx∈[﹣1，1]，

∴sinx=﹣時，f（x）取得最小值﹣，sinx=1時，f（x）取得最大值3，

∴f（x）的值域為[﹣，3]；

（2）f（x）=asinx﹣cos2x+1=asinx+2sin2x=2sin2x+asinx，

設t=sinx，則t∈[﹣1，1]，代入原函數得y=2t2+at，

∵存在實數x使得函數|f（x）|≥a2成立，

∴存在t∈[﹣1，1]使得函數|2t2+at|≥a2成立，

∴存在t∈[﹣1，1]使得2t2+at﹣a2≥0或2t2+at+a2≤0成立，

①當a=0時，2t2≥0或2t2≤0成立，

②當a≠0時，由于2t2+at+a2≤0的△=﹣7a2＜0，不等式無解，

由2t2+at﹣a2≥0得（2t﹣a）（t+a）≥0，

當a＞0時，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，﹣a]∪[，+∞），

由題意可得，≤1或﹣a≥﹣1，解得0＜a≤2，

當a＜0時，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，]∪[﹣a，+∞），

由題意可得，﹣a≤1或≥﹣1，解得﹣2≤a＜0，

綜上，實數a的取值范圍是[﹣2，2]．