Question

【題目】已知二次項系數是1的二次函數．

當，時，求方程的實根；

設b和c都是整數，若有四個不同的實數根，并且在數軸上四個根等距排列，試求二次函數的解析式，使得其所有項的系數和最小．

Answer 1

【答案】(1)，，，；(2)

【解析】

由題意可得，設，則，求得t，進而得到x的值；

，即為，由題意不妨設四個根分別為，，，，可得四個根的和為，即；再由韋達定理，消去d，可得b，c的方程，結合b，c為正整數和取得最小值，化簡運算和推理可得b，c的最小值，即可得到所求解析式．

當，時，，

設，則，

，解得或，

當時，，解得或；

當時，，解得：或，

綜上所述：的實根有：，，，；

，即為，

即有，

，

可得，或，

不妨設四個根分別為，，，，

可得四個根的和為，即；

又設，，

消去d，可得，

可得，

由b，c為整數，可得也為正整數的平方，

設，k為正整數，

即有，即為，

由為正整數的平方，且，

由取得最小值，

可得b的最小值為22，，，

則，其所有項的系數和最小．