Question

【題目】已知函數f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+cosx+a（a∈R，a為常數）． （Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數f（x）在[﹣ ， ]上的最大值與最小值之和為 ，求實數a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+cosx+a =sinxcos +cosxsin +sinxcos ﹣cosxsin +cosx+a
= sinx+cosx+a=2（ sinx+ cosx）+a=2sin（x+ ）+a，
∴函數f（x）的最小正周期T=2π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣ ， ]，∴﹣ ≤x+ ≤ ，
∴當x+ =﹣ ，即x=﹣ 時，f（x）的最小值=f（﹣ ）=﹣ +a，
當x+ = ，即x= 時，f（x）的最大值=f（ ）=2+a，
由題意，有（﹣ +a）+（2+a）= ，
∴a= ﹣1．
【解析】（Ⅰ）把f（x）的解析式先利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，合并后再利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由x的范圍，求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質求出f（x）的最大值及最小值，讓其和等于 列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【考點精析】掌握三角函數的最值是解答本題的根本，需要知道函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．