Question

【題目】在平面直角坐標系中，點到兩點、的距離之和等于，設點的軌跡為，斜率為的直線過點，且與軌跡交于、兩點.

（1）寫出軌跡的方程；

（2）如果，求的值；

（3）是否存在直線，使得在直線上存在點，滿足為等邊三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在直線:，使得在直線上存在點，滿足為等邊三角形；

【解析】

(1)根據點到兩點、的距離之和等于,且,可知軌跡為橢圓,由,求得,從而可得橢圓方程;

(2)聯立直線與橢圓,根據弦長公式求出弦長與已知弦長相等,可求出直線斜率;

(3) 將為等邊三角形,轉化為且,利用(2)的弦長以及兩點間的距離公式可求得答案.

(1) 因為點到兩點、的距離之和等于,且,

所以點的軌跡是,以、為焦點的橢圓,且,

所以,

所以軌跡的方程為:.

(2) 直線的方程為:,將其代入到,

整理得,

設,

則,,

所以

,

所以,即,所以.

(3)假設存在點滿足題意,

設的中點為,

由(1)知,

, ,

因為為等邊三角形,所以且,

所以, ,

所以,化簡得,所以,

所以存在直線:，使得在直線上存在點，滿足為等邊三角形