Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面,,，，為中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）見解析； （II）； （Ⅲ）答案見解析 .

【解析】

(Ⅰ)由題意結合三角形中位線的性質和線面平行的判定定理即可證得題中的結論；

(Ⅱ)由題意建立空間直角坐標系，求得半平面的法向量，然后結合法向量可得二面角的余弦值；

(Ⅲ)假設存在滿足題意的點，由題意結合點的坐標和向量垂直的充分必要條件得到關于的方程，解方程即可確定的值.

（I）設交于點，連結.

因為底面是矩形,所以為中點 .

又因為為中點 , 所以∥.

因為平面平面,所以∥平面.

（II）取的中點，連結，.

因為底面為矩形,所以.

因為，,

所以∥，所以.

又因為平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.

所以PO⊥平面ABCD，

如圖，建立空間直角坐標系,則，

設平面的法向量為，

所以

令，則，所以.

平面的法向量為，則.

如圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）在棱上存在點, 使.

設,則.　

因為,所以.

.

因為,所以.

所以，解得.

所以在棱上存在點,使，且.