Question

【題目】如圖，在矩形中，，，以，為焦點的橢圓：恰好過，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點，直線：與軸交于點，與橢圓相交于、兩點，且、在軸異側(cè)，若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】

（1）根據(jù)矩形的邊長，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡方程并由韋達(dá)定理可得，，由直線與圓相交可得，并由題意可設(shè)，及，再由求得的范圍；由，分別求得面積后代入，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得，綜合即可得的取值范圍.

（1）∵，，

∴，，，

解得，，

∴橢圓的方程為.

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，，

化簡可得，

∵直線與橢圓相交，∴，

化簡變形可得①，

∵設(shè)，，不妨設(shè)，

②，③.

由，得，

∵，，且，

則，去掉絕對值，則④

聯(lián)立②④，得，，

代入③得，化簡可得，

代入①式有，化簡可得，

所以的范圍為或.