Question

【題目】石雕工藝承載著幾千年的中國石雕文化，隨著科技的發展，機器雕刻產品越來越多．某石雕廠計劃利用一個圓柱形的石材（如圖1）雕刻制作一件工藝品（如圖2），該作品的上方是一個球體，下方是一個正四棱柱，經測量，圓柱形石材的底面半徑米，高米，制作要求如下：首先需將石材切割為體積相等的兩部分（分別稱為圓柱A和圓柱B），要求切面與原石材的上、下底面平行（不考慮損耗），然后將圓柱A切割打磨為一個球體，將圓柱B切割打磨為一個長方體，則加工打磨后所得工藝品的體積的最大值為________立方米.

Answer 1

【答案】

【解析】

要求加工打磨后所得工藝品的體積的最大值，只需上方的球與下方的長方體的體積同時取得最大值即可.

因為圓柱A和圓柱B的體積一樣大，所以它們的高一樣，即米，

要使工藝品的體積最大，則上方的球與下方的長方體的體積同時取得最大值，

設由圓柱A打磨的球體半徑為，則，即，所以，

當時，球的體積取得最大值，此時球體體積，

設下方的長方體的底面邊長分別為，，

要使長方體的體積最大，長方體的高與圓柱B的高相等，此時其體積，

因為長方體為圓柱B的內接長方體，即長方體的底面是圓柱底面的內接長方形，

所以長方形的對角線長等于圓柱底面的直徑，即，

由基本不等式可得，即，當且僅當時取等號，

所以長方體體積的最大值為，

所以所得工藝品的體積的最大值為(立方米).