Question

【題目】已知拋物線，斜率為的直線交拋物線于，兩點，當直線過點時，以為直徑的圓與直線相切．

（1）求拋物線的方程；

（2）與平行的直線交拋物線于，兩點，若平行線，之間的距離為，且的面積是面積的倍（O為坐標原點），求和的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或者，．

【解析】

（1）設直線AB方程為，代入得，

利用弦長公式求得弦長，結合以AB為直徑的圓與直線x=-1相切列式求得p，則拋物線方程可求；
（2）O到直線l1的距離為，寫出三角形AOB的面積，同理寫出三角形COD的面積，結合△OCD的面積是△OAB面積的倍求b，則直線l1和l2的方程可求．

（1）設直線AB方程為，

代入得，

∴，

設，

∴，

，

當時，，AB的中點為，

依題意可知，解之得，

∴拋物線方程為.

（2）由（1）得O到直線的距離為，

∴.

∵平行線之間的距離為，

∴直線CD的方程為，

∴.

依題意可知，即，

化簡得，

∴，代入（1）中均成立，

∴或者.