Question

【題目】如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，面積是面積的兩倍，點在側棱上.

（1）若，證明：平面平面；

（2）若二面角的大小為，且為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先證明AD⊥平面BCM，再證明平面平面；（2）先分析得到，以O為原點，以，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：因為，所以，

所以．

取BC中點O，連結DO,AO，所以DO⊥BC，AO⊥BC，

因為，所以BC⊥平面AOD，所以BC⊥AD，

又因為BM⊥AD，，所以AD⊥平面BCM，

所以平面ACD⊥平面BCM．

（2）由（1）知，是二面角D-BC-A的平面角，

所以，

過作交延長線于G，因為BC⊥平面AOD，平面AOD，

所以，

因為，所以平面．

如圖，以O為原點，以，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，

設 ，則，

又因為，

所以，

在中，，

所以 ， ，

所以，

所以，，

設是平面DCA的法向量，

則即

取，

因為點是線段的中點，所以，

所以 ，

設直線BM與平面DCA所成角的大小為，則

，

所以直線BM與平面CDA所成角的正弦值為．