Question

【題目】已知函數.

(Ⅰ)當時,解不等式;

(Ⅱ)若,對任意都有恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (∞,5)∪（1,+∞)；(Ⅱ)(0,6]

【解析】

(Ⅰ)由題知當a=1時,不等式等價于|x+3|+|x+1|>6，根據絕對值的幾何意義能求出不等式的解集．
(Ⅱ) 由,對任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可，轉化成函數最值問題建立不等關系式，由此能求出a的取值范圍．

(Ⅰ)∵函數，

∴當a=1時,不等式等價于|x+3|+|x+1|>6，

根據絕對值的幾何意義：

|x+3|+|x+1|>6可以看作數軸上的點x到點3和點1的距離之和大于6，

則點x到點3和點1的中點O的距離大于3即可，

∴點x在5或其左邊及1或其右邊，

即x<5或x>1.

∴不等式的解集為(∞,5)∪（1,+∞).

(Ⅱ) ∵,對任意都有，

只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可.

由可得，

，

設，根據二次函數性質，

，

∴，

解得，

又，

∴

∴a的取值范圍是(0,6].