Question

【題目】設點，動點滿足，的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)過定點作直線交曲線于兩點.設為坐標原點，若直線與軸垂直，求面積的最大值;

(3)設，在軸上，是否存在一點，使直線和的斜率的乘積為非零常數?若存在，求出點的坐標和這個常數;若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)1;(3)存在，存在點，常數為

【解析】

(1)根據橢圓定義判斷并根據對應量的含義求標準方程;

(2)設直線方程，與橢圓方程聯立解得交點坐標，表示出三角形面積，最后根據基本不等式求最值；

(3)先用坐標化簡直線和的斜率的乘積，再設直線方程，并與橢圓方程聯立，利用韋達定理化簡兩斜率的乘積式，最后根據恒成立解得點的坐標和斜率的乘積常數值.

(1)依題意可得:曲線為橢圓，

其中心在原點，長軸的長，半焦距，

故，

因此，曲線的方程為.

(2)不妨設直線與橢圓的交點為，

由得

則，

當且僅當即，亦即時取等號，

綜上可得，面積的最大值為1.

(3)設直線與橢圓的交點為.

依題意，可設直線，

由消去并整理得，

則，(※)

且，……①

又，……②

若存在定點符合題意，且(為非零常數)，

則，

把①②式代入此式并整理得:

(這里為常數，且為非零常數).

要使得上式對變量恒成立，只須(注意到)，

解得或.

即當定點是橢圓的右頂點時，非零常數;

當定點是橢圓的左頂點時，非零常數.

綜上，在軸上，存在點，

使直線和的斜率的乘積為非零常數，或存在點，

使直線和的斜率的乘積為非零常數.