Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點.

（I）求橢圓的標準方程；

（II）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，設，滿足.

（i）試證的值為定值，并求出此定值；

（ii）試求四邊形ABCD面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)為定值0；(ii)最大值為4．

【解析】

試題（Ⅰ）利用待定系數法進行求解；（Ⅱ）聯立直線與橢圓的方程，整理成關于的一元二次方程，利用得出定值；利用弦長公式求弦長，即三角形的底邊，再利用點到直線的距離公式求其高，進而得出面積，理基本不等式求其最值.

試題解析：（Ⅰ）由題意，，又，

解得,

橢圓的標準方程為.

（Ⅱ） (i) 直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0）時不滿足

設直線AB的方程為，設

聯立，得

(*)

整理得

所以為定值0.

(ii) 由(i),不妨取,則

設原點到直線AB的距離為d，則

當時(滿足(*)式)取等號.

.

即四邊形ABCD的面積的最大值為4.