Question

【題目】如圖，圓O是一半徑為10米的圓形草坪，為了滿足周邊市民跳廣場舞的需要，現規劃在草坪上建一個廣場，廣場形狀如圖中虛線部分所示的曲邊四邊形，其中A，B兩點在⊙O上，A，B，C，D恰是一個正方形的四個頂點．根據規劃要求，在A，B，C，D四點處安裝四盞照明設備，從圓心O點出發，在地下鋪設4條到A，B，C，D四點線路OA，OB，OC，OD．

（1）若正方形邊長為10米，求廣場的面積；
（2）求鋪設的4條線路OA，OB，OC，OD總長度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AB，

∵AB=10，∴正方形ABCD的面積為100，

又OA=OB=10，∴△AOB為正三角形，則 ，

而圓的面積為100π，∴扇形AOB得面積為 ，

又三角形AOB的面積為 ．

∴弓形面積為 ，

則廣場面積為100+ （平方米）；

（2）過O作OK⊥CD，垂足為K，過O作OH⊥AD（或其延長線），垂足為H，

設∠OAD=θ（0＜θ＜ ），

則OH=10sinθ，AH=10cosθ，

∴DH=|AD﹣AH|=|2OH﹣AH|=|20sinθ﹣10cosθ|，

∴OD= = ．

∴當θ= 時， ．

∴鋪設的4條線路OA，OB，OC，OD總長度的最小值為 （米）．

【解析】（1）將廣場的面積化為正方形與弓形的面積和，求弓形面積利用扇形面積減去三角形的面積來計算；（2）鋪設的4條線路OA，OB，OC，OD中OA，OB為圓的半徑長，OC，OD長度相等，所以求得OC或OD的最小值即可求得4條線路總長度的最小值 .
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與圓的三種位置關系(直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點)．