Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ +alnx．
（Ⅰ）若f（x）在區間[2，3]上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設f（x）的導函數f′（x）的圖象為曲線C，曲線C上的不同兩點A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）所在直線的斜率為k，求證：當a≤4時，|k|＞1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ．

因為f（x）在區間[2，3]上單調遞增，

所以 ≥0在[2，3]上恒成立，

即 在[2，3]上恒成立，

設 ，則 ，

所以g（x）在[2，3]上單調遞減，

故g（x）max=g（2）=﹣7，

所以a≥﹣7；

（Ⅱ）對于任意兩個不相等的正數x1、x2有

＞

=

= ，

∴ ，

而 ，

∴ =

= ＞ ，

故： ＞ ，即 ＞1，

∴當a≤4時， ．

【解析】（Ⅰ）將函數f（x）在區間[2，3]上單調遞增，轉化為導數函數f'（x）≥0在區間[2，3]上恒成立，從而求得a的取值范圍；（Ⅱ）先利用基本不等式求得解題過程中的的關鍵不等式的取值范圍，最后利用斜率公式列出不等式，從而證明當a≤4時，|k|＞1.
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和基本不等式的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：才能正確解答此題．