Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，且平面PAB⊥平面ABCD，若AB=2，BC=1， ．

（1）求證：PA⊥平面PBC；
（2）若點M在棱PB上，且PM：MB=3，求證CM∥平面PAD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，

∴BC⊥平面PAB，又PA平面PAB，

∴BC⊥PA，

又PA⊥PB，PB∩BC=B，PB平面PBC，BC平面PBC，

∴PA⊥平面PBC．

（2）在AB上取點N，使得AN：BN=3，取AB的中點O，連結(jié)MN，CN，PO，OD，

∵ ，

∴MN∥PA．

由（1）知BC⊥平面PAB，∴BC⊥BN，

∵BN= AB= ，BC=1，∴tan∠BNC= ．

∵AD=BD= ，AB=2，O是AB的中點，

∴OD⊥AB，OA=1，OD= =2，

∴tan∠OAD= ，

∴∠BNC=∠OAD，∴CN∥AD，

又MN∩CN，PA∩AD=A，

∴平面MNC∥平面PAD．

又∵CM平面MNC，

∴CM∥平面PAD．

【解析】（1）先利用面面垂直的性質(zhì)定理可證BC⊥平面PAB，進而可證BC⊥PA，再利用線面垂直的判定定理可證PA⊥平面PBC；（2）先在AB上取點N，使得AN：BN=3，取AB的中點O，連結(jié)MN，CN，PO，OD，進而可證MN∥PA，再證CN∥AD，進而可證平面MNC∥平面PAD，從而可證CM∥平面PAD．
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．