Question

【題目】設直線l1 ， l2分別是函數f（x）= 圖象上點P1 ， P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1 ， l2分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是（　　）
A.（0，1）
B.（0，2）
C.（0，+∞）
D.（1，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）（0＜x1＜1＜x2），當0＜x＜1時，f′（x）= ，當x＞1時，f′（x）= ，∴l1的斜率 ，l2的斜率 ，
∵l1與l2垂直，且x2＞x1＞0，
∴ ，即x1x2=1．直線l1： ，l2： ．
取x=0分別得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），
|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．
聯立兩直線方程可得交點P的橫坐標為x= ，∴ |AB||xP|= = ．∵函數y=x+ 在（0，1）上為減函數，且0＜x1＜1，∴ ，則 ，∴ ．
∴△PAB的面積的取值范圍是（0，1）．
故選：A．
設出點P1 ， P2的坐標，求出原分段函數的導函數，得到直線l1與l2的斜率，由兩直線垂直求得P1 ， P2的橫坐標的乘積為1，再分別寫出兩直線的點斜式方程，求得A，B兩點的縱坐標，得到|AB|，聯立兩直線方程求得P的橫坐標，然后代入三角形面積公式，利用基本不等式求得△PAB的面積的取值范圍；本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用基本不等式求函數的最值，考查了數學轉化思想方法，屬中檔題．