Question

【題目】已知函數，其圖象與x軸交于兩點，且.

（1）證明： ；

（2）證明： ；（其中為的導函數）

（3）設點C在函數的圖象上，且△ABC為等邊三角形，記，求的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：(1)討論a的符號,判斷的單調性,計算的極值,根據零點個數得出的極小值為負數,列出不等式解出a;

(2)計算,根據函數單調性判斷的符號即可;

(3)用表示出P點坐標,根據等邊三角形的性質列方程化簡即可求出t和a的關系,再計算的值.

試題解析：（1）∵ ，

若，則，則函數在R上單調遞增，這與題設矛盾.

，易知在上單調遞減，在上單調遞增，

.

（2）∵，∴兩式相減得.

記，則，

設則是單調減函數，

則有，而.

（3）由得，

設，在等邊三角形ABC中，易知，

由等邊三角形性質知，

即，

，

∵，

，

，又∵，

.