Question

對于n∈N^*，把n表示為n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，當(dāng)i=0時，a_i=1；當(dāng)1≤i≤k時，a_i為0或1．記I（n）為上述表示中a_i為0的個數(shù)（例如：1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，故I（1）=0，I（4）=2，若r，m∈N^*，a＞0，則：
（1）I（2^r）=

 

；
（2）

2m-1

n=1

a^I（n）=

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)題意，分析可得，將n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，實際是將十進制的數(shù)轉(zhuǎn)化為二進制的數(shù)，易得2^r=1×2^r+0×2^r-1+…+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意義，可得答案；
（2）分別令m=1，2，3，4，…，分析

2m-1

n=1

a^I（n）的值隨m變化的規(guī)律，歸納推理可得答案．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，2^r=1×2^r+0×2^r-1+…+0×2¹+0×2⁰=r，
（2）當(dāng)m=1時，

2m-1

n=1

a^I（n）=

1

n=1

a^I（n）=a⁰=1=

(a+1)1-1

a

；
當(dāng)m=1時，

2m-1

n=1

a^I（n）=

3

n=1

a^I（n）=a⁰+a¹+a⁰=a+2=

(a+1)2-1

a

；
當(dāng)m=1時，

2m-1

n=1

a^I（n）=

7

n=1

a^I（n）=a⁰+a¹+a⁰+a²+a¹+a¹+a⁰=a²+3a+3=

(a+1)3-1

a

；
當(dāng)m=1時，

2m-1

n=1

a^I（n）=

15

n=1

a^I（n）=a⁰+a¹+a⁰+a²+a¹+a¹+a⁰+a³+a²+a²+a²+a¹+a¹+a¹+a⁰=a³+4a²+6a+4=

(a+1)4-1

a

；
…
歸納推理得：

2m-1

n=1

a^I（n）=

(a+1)m-1

a

，
故答案為：r，

(a+1)m-1

a

點評：解本題關(guān)鍵在于分析題意，透徹理解I（n）的含義及

2m-1

n=1

a^I（n）的運算，注意轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合二項式定理與等比數(shù)列的前n項和公式進行計算．