Question

給出定義：若x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]（其中m為整數），則m叫做與實數x“親密的整數”，記作{x}=m，在此基礎上給出下列關于函數f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數y=f（x）在x∈（0，1）上是增函數；
②函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；
③函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1；
④當x∈（0，2]時，函數g（x）=f（x）-lnx有兩個零點．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：①x∈（0，1）時，m=

1

2

，可得f（x）=|x-{x}|=|x-

1

2

|，從而可得函數的單調性；
②利用新定義，可得{k-x}=k-m，從而可得f（k-x）=|k-x-{k-x}|=|k-x-（k-m）|=|x-{x}|=f（x）；
③驗證{x+1}={x}+1=m+1，可得f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x）；
④由上，在同一坐標系中畫出函數圖象，即可得到當x∈（0，2]時，函數g（x）=f（x）-lnx有兩個零點．

解答： 解：①x∈（0，1）時，m=

1

2

，
∴f（x）=|x-{x}|=|x-

1

2

|，函數在（-∞，

1

2

）上是減函數，在（

1

2

，+∞）上是增函數，故①不正確；
②∵x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，
∴k-m-

1

2

＜k-x≤k-m+

1

2

（m∈Z），
∴{k-x}=k-m，
∴f（k-x）=|k-x-{k-x}|=|k-x-（k-m）|=|x-{x}|=f（x），
∴函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈z）對稱，故②正確；
③∵x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，
∴-

1

2

＜（x+1）-（m+1）≤

1

2

，
∴{x+1}={x}+1=m+1，
∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
∴函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1；
④由題意，當x∈（0，2]時，函數g（x）=f（x）-lnx有兩個零點．
∴正確命題的序號是：②③④．
故答案為：②③④

點評：本題為新定義題目，考查了函數奇偶性，周期性，單調性，對稱性的判斷，解題的關鍵是讀懂定義內涵，嘗試探究解決，屬于中檔題．