Question

【題目】已知函數f（x）=是奇函數，g（x）=log2（2x+1）-bx是偶函數．

（1）求a-b；

（2）若對任意的t∈[-1，2]，不等式f（t2-2t-1）+f（2t2-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由奇、偶函數定義可得；（2）利用f（x）的奇偶性和單調性，將不等式轉化為：k＞3t2-2t-1在t∈[-1，2]上恒成立，然后轉化為最值，最后構造函數求出最大值即可．

（1）∵是奇函數，

∴f（-x）=-f（x），即=-，c化簡得：（a+1）（ex+e-x）=0，

∴a+1=0，∴a=-1．

∵是偶函數，

∴g（-x）=g（x），即=，

化簡得：（-1+2b）x=0 對一切實數恒成立，b=，

故a-b=-1-=-．

（2）由（1）知：f（x）==ex-e-x，∴f（x）是R上的奇函數且增函數．

∴f（t2-2t-1）+f（2t2-k）＜0 等價于f（t2-2t-1）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2）

等價于t2-2t-1＜k-2t2，

即k＞3t2-2t-1對任意的t∈[-1，2]恒成立．

令h（t）=3t2-2t-1t∈[-1，2]，

則k＞h（t）max．

又h（t）=3t2-2t-1的對稱軸為：t=∈[-1，2]

∴t=2時，h（t）max=h（2）=7，

∴k＞7

∴實數k的取值范圍是：（7，+∞）．