Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ax在點（t，f（t））處切線方程為y=2x﹣1
（1）求a的值
（2）若 ，證明：當x＞1時，
（3）對于在（0，1）中的任意一個常數b，是否存在正數x0 ， 使得： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=lnx+ax的導數為f′（x）= +a，

在點（t，f（t））處切線方程為y=2x﹣1，

可得f′（t）= +a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，

解得a=t=1；

（2）證明：由（1）可得f（x）=lnx+x，

要證當x＞1時， ，

即證lnx＞k（1﹣ ）﹣1（x＞1），

即為xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，

可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），g′（x）=2+lnx﹣k，

由 ，x＞1，可得lnx＞0，2﹣k≥0，

即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）遞增，

可得g（x）＞g（1）=1+2k≥0，

故當x＞1時， 恒成立；

（3）解：對于在（0，1）中的任意一個常數b，

假設存在正數x0，使得： ．

由ef（x0+1）﹣2x0﹣1+ x02=eln（x0+1）﹣x0+ x02=（x0+1）e﹣x0+ x02．

即對于b∈（0，1），存在正數x0，使得（x0+1）e﹣x0+ x02﹣1＜0，

從而存在正數x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．

令H（x）=（x+1）e﹣x+ x2﹣1，H′（x）=e﹣x﹣（x+1）e﹣x+bx=x（b﹣e﹣x），

令H′（x）＞0，解得x＞﹣lnb，令H′（x）＜0，解得0＜x＜﹣lnb，

則x=﹣lnb為函數H（x）的極小值點，即為最小值點．

故H（x）的最小值為H（﹣lnb）=（﹣lnb+1）elnb+ ln2b﹣1= ln2b﹣blnb+b﹣1，

再令G（x）= ln2x﹣xlnx+x﹣1，（0＜x＜1），

G′（x）= （ln2x+2lnx）﹣（1+lnx）+1= ln2x＞0，

則G（x）在（0，1）遞增，可得G（x）＜G（1）=0，則H（﹣lnb）＜0．

故存在正數x0=﹣lnb，使得 ．

【解析】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，解方程可得a的值；（2）求出f（x）=lnx+x，要證原不等式成立，即證xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），求出導數，判斷符號，可得單調性，即可得證；（3）對于在（0，1）中的任意一個常數b，假設存在正數x0 ， 使得： ．運用轉化思想可令H（x）=（x+1）e﹣x+ x2﹣1，求出導數判斷單調性，可得最小值，即可得到結論．