Question

若函數f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-m在[0，

π

2

]上有零點，則m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：先利用兩角和公式和二倍角公式對函數解析式化簡整理，要使f（x）在[0，

π

2

]上有零點，需f（x）=0，進而得出

2

sin（2x+

π

4

）=m-2，利用x的范圍求得m的范圍．

解答： 解：f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-m
=1+2sinxcosx+2cos²x-m
=sin2x+cos2x+2-m
=

2

sin（2x+

π

4

）+2-m，
要使f（x）在[0，

π

2

]上有零點，需f（x）=0，
即

2

sin（2x+

π

4

）+2-m=0
∴

2

sin（2x+

π

4

）=m-2，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-1≤m-2≤

2

，
∴1≤m≤2+

2

，
故答案為：[1，2+

2

]

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．解題的過程中注意數形結合思想和整體還原思想的應用．