Question

數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），設S_n為{b_n}的前n項和．若a₁₂=

3

8

a₅＞0，則當S_n取得最大值時n的值等于

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：根據等差數列的通項公式，以及數列的遞推關系，即可得到結論．

解答： 解：設{a_n}的公差為d，由a₁₂=

3

8

a₅＞0得 a₁=-

76

5

d，a₁₂＜a₅，
即d＜0，
所以a_n=（n-

81

5

）d，
從而可知1≤n≤16時，a_n＞0，n≥17時，a_n＜0．
從而b₁＞b₂＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈＞…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，
故S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆．
因為a₁₅=-

6

5

d＞0，a₁₈=

9

5

d＜0，
所以a₁₅+a₁₈=-

6

5

d+

9

5

d=

4

5

d＜0，
所以b₁₅+b₁₆=a₁₆a₁₇（a₁₅+a₁₈）＞0，
所以S₁₆＞S₁₄，故S_n中S₁₆最大．
故答案為：16

點評：本題主要考查利用等差數列及等差數列的基本性質是解題基本策略．此題借助了求等差數列前n項和最值的方法，所以在關注方法時，也要關注形成方法的過程和數學思想．