Question

（2013•徐州三模）已知曲線C：f(x)=x+

a

x

(a＞0)，直線l：y=x，在曲線C上有一個動點P，過點P分別作直線l和y軸的垂線，垂足分別為A，B．再過點P作曲線C的切線，分別與直線l和y軸相交于點M，N，O是坐標原點．若△ABP的面積為

1

2

，則△OMN的面積為

4

．

Answer 1

分析：由題意易得B的坐標，寫出垂線的方程聯立y=x可得A坐標，進而可得△ABP的面積，可求a，然后可寫出切線的方程，進而可得M、N的坐標，可表示出△OMN的面積，代入a值可得答案．

解答：解：由題意設點P（x₀，x0+

a

x0

），則B（0，x0+

a

x0

），
又與直線l垂直的直線向斜率為-1，故方程為y-（x0+

a

x0

）=-（x-x₀）
和方程y=x聯立可得x=y=x0+

a

2x0

，故點A（x0+

a

2x0

，x0+

a

2x0

），
故△ABP的面積S=

1

2

|x0||x0+

a

2x0

-(x0+

a

x0

)|
=

1

2

|x0||

a

2x0

|=

1

4

a=

1

2

，解得a=2，
又因為f(x)=x+

a

x

，所以f′(x)=1-

a

x2

，故切線率為k=1-

a

x02

，
故切線的方程為y-（x0+

a

x0

）=（1-

a

x02

）（x-x₀），
令x=0，可得y=

2a

x0

，故點N（0，

2a

x0

），
聯立方程y=x可解得x=y=2x₀，即點M（2x₀，2x₀），
故△OMN的面積為

1

2

•|

2a

x0

||2x0|=2a=4，
故答案為：4

點評：本題考查利用導數研究曲線的切線方程，涉及三角形的面積和方程組的求解，屬中檔題．