Question

【題目】如圖，矩形所在的平面與直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.

（1）求證：面；

（2）在線段上求一點，使銳二面角的余弦值為.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）為線段的中點.

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理證明出平面平面，再利用平面與平面平行的性質得出平面；

（2）由，，由二面角的定義得出，證明出平面平面，過點在平面內作，可證明出平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，設點的坐標為，利用向量法結合條件銳二面角的余弦值為求出的值，由此確定點的位置.

（1）在矩形中，，又平面，平面，

平面，同理可證平面，

，、平面，平面平面，

平面，平面；

（2）在矩形中，，又，則矩形所在平面與直角梯形所在平面所成二面角的平面角為，即.

又，平面，

作于，平面，，

又，、平面，平面.

作于，，，，

，，，.

以為原點，、所在直線分別為軸、軸如圖建立空間直角坐標系，

則、，設.

則，，

設平面的一個法向量為，則，即，取，則，，則平面的一個法向量為.

.又平面的一個法向量為，，

解得或（舍去）.

此時，， 即所求點為線段的中點.