Question

若不全為零的實數a，b，c成等差數列，點P（-1，-2）在動直線l：ax+by+c=0上的射影為M，點N（0，3），則線段MN長度的最小值是______．

Answer 1

∵不全為零的實數a，b，c成等差數列，∴2b=a+c．把b=

a+c

2

代入直線l：ax+by+c=0可得ax+

a+c

2

y+c=0，
化為a（2x+y）+c（y+2）=0．
由于a，c不全為0，聯立

2x+y=0 y+2=0

解得

x=1 y=-2

，
可知：動直線l過定點Q（1，-2）．
設點M（x，y），∵PM⊥QM．
∴

PM

•

QM

=（x+1，y+2）•（x-1，y+2）=x²-1+（y+2）²=0，
化為x²+（y+2）²=1．
因此點M在以（0，-2）為圓心，1為半徑的圓上，
故當取點M（0，-1）時，|MN|取得最小值3-（-1）=4．
故答案為：4．