Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，點A（a，4）為拋物線C上的定點，點P為拋物線C上的動點．且△FOA的外接圓圓心到準線的距離為

3

2

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過P作圓x²+（y-1）²=

1

4

的兩條切線分別交該圓于點M，N，求四邊形PMFN面積的最小值及此時P點坐標．
（3）設點T（0，t），且∠TAF=arccos

1

5

，求實數t的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意得出圓心的縱坐標為

p

4

，由圓心到準線的距離等于

3

2

求出p的值，則拋物線方程可求；
（2）S_PMFN=2S_△PMF=2•

1

2

|PM||MF|=

1

2

|PM|，即可求四邊形PMFN面積的最小值及此時P點坐標．
（3）利用向量的數量積公式，即可求實數t的值．

解答： 解：（1）△FOA的外接圓的圓心在線段OF的中垂線y=

p

4

上，則圓心的縱坐標為

p

4

故到準線的距離為

p

2

+

p

4

=

3

2

從而p=2…（2分）
即拋物線C的方程為：x²=4y．…（4分）
（2）設P（x₀，y₀），則
∵圓心坐標（0，1）是拋物線C的焦點F
∴|PF|=y₀+1…（6分）
S_PMFN=2S_△PMF=2•

1

2

|PM||MF|=

1

2

|PM|=

1

2

|PF|2- 1 4

-

1

2

(y0+1)2- 1 4

（y₀≥0）…（8分）
∴當y₀=0時，四邊形PMFN面積的最小值為

3

4

，此時點P（0，0）．…（10分）
（3）由題意，A（4，4）或（-4，4），
A（4，4）時，

AT

=（-4，t-4），

AF

=（-4，-3），
∵∠TAF=arccos

1

5

，
∴16-3（t-4）=

1

5

16+(t-4)2

×5，
∴t=10±

6

；
根據對稱性知，當A（-4，4）時，實數t的值不變．
綜上得，t=10±

6

．…（12分）

點評：本題考查了拋物線的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了方程思想和函數思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．