Question

已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0及點Q（6，3）．
（1）若M（x，y）為圓C上任一點，求K=

y-3

x-6

的最大值和最小值；
（2）已知點N（-6，3），直線kx-y-6k+3=0與圓C交于點A、B．當k為何值時

NA

•

NB

取到最小值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,平面向量數量積的運算

專題：直線與圓

分析：（1）首先根據題意直線與圓有公共點，利用圓心到直線的距離小于或等于半徑求出k的值．
（2）根據直線與圓有兩個交點，根據根和系數的關系求出

NA

•

NB

=（x₁+6）（x₂+6）+（y₁-3）（y₂-3），進一步利用均值不等式求出結果．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²-4x-14y+45=0轉化為標準式為：（x-2）²+（y-7）²=8
直線kx-y-6k+3=0與圓C有公共點
則：d=

|2k-7-6k+3|

1+k2

≤r=2

2

．
解不等式得：-2-

3

≤k≤-2+

3

即K=

y-3

x-6

的最大值為：-2+

3

．
最小值為：-2-

3

（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程kx-y-6k+3=0代入圓的方程得：
（k²+1）x²-4（3k²+2k+1）x+12（3k²+4k+1）=0
由于直線與圓交于A、B兩點，
所以：x1+x2=

4(3k2+2k+1)

k2+1

，x1x2=

12(3k2+4k+1)

k2+1

所以：

NA

•

NB

=（x₁+6）（x₂+6）+（y₁-3）（y₂-3）
=(k2+1)x1x2+(6-6k2)(x1+x2)+36（k²+1）
=24（7+4

k-1

k2+1

）=24（7+4

1

(k-1)+ 2 (k-1) +2

）
當k=1-

2

時，

NA

•

NB

取到最小值．

點評：本題考查的知識要點：直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，根和系數的關系，均值不等式的應用，及相關的運算問題，屬于中檔題．