Question

設圓C₁的方程為（x-2）²+（y-3m）²=4m²，直線l的方程為y=x+m-1．
（Ⅰ）求C₁關于l對稱的圓C₂的方程；
（Ⅱ）當m變化且m≠0時，求證：C₂的圓心在一條定直線上，并求C₂所表示的一系列圓的公切線方程．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ） 由圓的方程找出圓心坐標，設出圓心關于直線l的對稱點的坐標，由直線l的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出直線C₁C₂的斜率，由圓心及對稱點的坐標表示出斜率，等于求出的斜率列出一個關系式，然后利用中點坐標公式，求出兩圓心的中點坐標，代入直線l的方程，得到另一個關系式，兩關系式聯立即可用m表示出a與b，把表示出的a與b代入圓C₂的方程即可；
（Ⅱ）由表示出的a與b消去m，得到a與b的關系式，進而得到圓C₂的圓心在定直線上；分公切線的斜率不存在和存在兩種情況考慮，當公切線斜率不存在時，容易得到公切線方程為x=0；當公切線斜率存在時，設直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，根據點到直線的距離公式表示出圓心（a，b）到直線y=kx+b的距離d，當d等于圓的半徑2|m|，化簡后根據多項式為0時各項的系數為0，即可求出k與b的值，從而確定出C₂所表示的一系列圓的公切線方程，這樣得到所有C₂所表示的一系列圓的公切線方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵圓C₁的方程為（x-2）²+（y-3m）²=4m²，
∴圓心為（2，3m），設它關于直線l：y=x+m-1的對稱點為（a，b），
則

b-3m a-2 ×1=-1 b+3m 2 = a+2 2 +m-1

，
解得a=2m+1，b=m+1，
∴圓C₂的圓心為（2m+1，m+1），
∴圓C₂的方程為：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²，
∴C₁關于l對稱的圓C₂的方程：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²．
（Ⅱ）根據（Ⅰ） 得
圓C₂的圓心為（2m+1，m+1），
令

x=2m+1 y=m+1

，消去m得
x-2y+1=0，
它表示一條直線，
故C₂的圓心在一條定直線上，
①當公切線的斜率不存在時，易求公切線的方程為x=0；
②當公切線的斜率存在時，設直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，
∴

|k•(2m+1)-(m+1)+b|

1+k2

=2|m|，
即：（1-4k）m²+2（2k-1）（k+b-1）m+（k+b-1）²=0
∵直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，所以上述方程對所有的m值都成立，
∴所以有：

1-4k=0 2(2k-1)(k+b-1)=0 k+b-1=0

，
解得

k= 1 4 b= 3 4

，
∴C₂所表示的一系列圓的公切線方程為：y=

1

4

x+

3

4

，
∴故所求圓的公切線為x=0或y=

1

4

x+

3

4

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及關于點與直線對稱的圓的方程．此題的綜合性比較強，要求學生審清題意，綜合運用方程與函數的關系，掌握直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑，在作（Ⅱ）時先用消去參數的方法求定直線的方程，然后采用分類討論的數學思想分別求出C₂所表示的一系列圓的公切線方程．