Question

已知數列{an}是首項為a₁=4，公比q≠1的等比數列，S_n是其前項和，且4a₁，a₅，-2a₃成等差數列．
（1）求公比q的值；
（2）設A_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，求A_n．

Answer 1

分析：（1）利用4a₁，a₅，-2a₃成等差數列列出等式，利用等比數列的通項公式將等式中的各項利用首項與公比表示，解方程求出公比．
（2）利用等比數列的前n項和公式求出S_n，由于S_n是一個常數列和一個等比數列的和構成的數列，利用分組法求出數列的和A_n．

解答：解：（1）∵4a₁，a₅，-2a₃成等差數列，
∴2a₅=4a₁+（-2a₃），
∵a₅=a₁q⁴，a₃=a₁q²，
∴2a₁q⁴=4a₁-2•a₁q²．
∵a₁≠0
q⁴+q²-2=0．
∴q²=1或q²=-2（ 舍去）
∵q≠1，
∴q=-1．
（2）∵Sn=

4[1-(-1)n]

1-(-1)

=2-2•(-1)n．
∴A_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n=[2-2•（-1）¹]+[2-2•（-1）²]+[2-2•（-1）³]+…+[2-2•（-1）ⁿ]
=2n-2•[（-1）+（-1）²+（-1）³+…+（-1）ⁿ]
=2n-2

-1•[1-(-1)n]

1-(-1)

=2n+1-（-1）ⁿ

點評：求數列的前n項和，一般先求出數列的通項，然后根據通項的特點選擇合適的求和方法．常見的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組法．