Question

選修4-2：矩陣及其變換
（1）如圖，向量

OA

和

OB

被矩陣M作用后分別變成

OA′

和

OB′

，
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）并求y=sin(x+

π

3

)在M作用后的函數(shù)解析式；
選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
（ 2）在直角坐標系x0y中，直線l的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系x0y取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點A，B．若點P的坐標為（3，

5

），求|PA|+|PB|．
選修4-5：不等式選講
（3）已知x，y，z為正實數(shù)，且

1

x

+

1

y

+

1

z

=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時x，y，z的值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）二階矩陣把點變換成點，利用待定系數(shù)法及二階矩陣與平面列向量的乘法，可求矩陣M，
（Ⅱ）二階矩陣把點變換成點，借此又可解決坐標變換問題，注意變換前后點的坐標間的關(guān)系．
（2）（Ⅰ）由圓C的方程為ρ=2

5

sinθ，能求出圓的直角方程．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得t2-3

2

t+4=0，再由點P的坐標為（3，

5

），能求出|PA|+|PB|．
（3）由柯西不等式，得x+4y+9z=[（

x

）²+（2

y

）²+（3

z

）²]•[（

1

x

）²+（

1

y

）²+（

1

z

）²]，由此能求出x+4y+9z取得最小值．

解答：解：（1）（Ⅰ）設(shè)M=

a b c d

，
∵

OA

=(1，1)，

OB

=(1，2)矩陣M作用后分別變成

OA′

=（2，2），

OB′

=（2，4），
∴用待定系數(shù)求得M=

2 0 0 2

．（4分）
（Ⅱ）∵M=

2 0 0 2

，∴

x= x′ 2 y= y′ 2

，解得

x′=2x y′=2y

，
再坐標轉(zhuǎn)移法得y′=2sin（

x

2

+

π

3

）．（7分）
（2）（Ⅰ）∵圓C的方程為ρ=2

5

sinθ，
∴ρ2=2

5

ρsinθ，
∴圓的直角方程：x2+(y-

5

)2=5
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得t2-3

2

t+4=0
由△=(3

2

)2-4×4=2＞0，故可設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩根
所以

t1+t2=3 2 t1•t2=4

，又直線l過點(3，

5

)，故結(jié)合t的幾何意義得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3

2

．…7 分
（3）解：由柯西不等式得
x+4y+9z=[（

x

）²+（2

y

）²+（3

z

）²]•[（

1

x

）²+（

1

y

）²+（

1

z

）²]
≥(

x

•

1

x

+2

y

•

1

y

+3

z

•

1

z

)2
=36．…（4分）
當且僅當x=2y=3z時等號成立，…（5分）
此時x=6，y=3，z=2…（6分）
所以當x=6，y=3，z=2時，x+4y+9z取得最小值36．…（7分）

點評：第（1）題考查矩陣及其變換，第（2）題考查坐標第與參數(shù)方程，第（3）題考查不等式．這三道小題都是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．