Question

選修4-2：矩陣及其變換
（1）如圖，向量被矩陣M作用后分別變成，
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）并求在M作用后的函數解析式；
選修4-4：坐標系與參數方程
（ 2）在直角坐標系x0y中，直線l的參數方程為（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系x0y取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設圓C與直線l交于點A，B．若點P的坐標為（3，），求|PA|+|PB|．
選修4-5：不等式選講
（3）已知x，y，z為正實數，且，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時x，y，z的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）二階矩陣把點變換成點，利用待定系數法及二階矩陣與平面列向量的乘法，可求矩陣M，
（Ⅱ）二階矩陣把點變換成點，借此又可解決坐標變換問題，注意變換前后點的坐標間的關系．
（2）（Ⅰ）由圓C的方程為，能求出圓的直角方程．
（Ⅱ）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得，再由點P的坐標為（3，），能求出|PA|+|PB|．
（3）由柯西不等式，得x+4y+9z=[（）²+（2）²+（3）²]•[（）²+（）²+（）²]，由此能求出x+4y+9z取得最小值．
解答：解：（1）（Ⅰ）設M=，
∵，矩陣M作用后分別變成=（2，2），=（2，4），
∴用待定系數求得M=．（4分）
（Ⅱ）∵M=，∴，解得，
再坐標轉移法得y′=2sin（+）．（7分）
（2）（Ⅰ）∵圓C的方程為，
∴，
∴圓的直角方程：
（Ⅱ）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得
由，故可設t₁，t₂是上述方程的兩根
所以，又直線l過點，故結合t的幾何意義得
|PA|+|PB|=．…7 分
（3）解：由柯西不等式得
x+4y+9z=[（）²+（2）²+（3）²]•[（）²+（）²+（）²]
≥
=36．…（4分）
當且僅當x=2y=3z時等號成立，…（5分）
此時x=6，y=3，z=2…（6分）
所以當x=6，y=3，z=2時，x+4y+9z取得最小值36．…（7分）
點評：第（1）題考查矩陣及其變換，第（2）題考查坐標第與參數方程，第（3）題考查不等式．這三道小題都是基礎題，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．