Question

（2013•鹽城一模）B．（選修4-2：矩陣與變換）
    已知矩陣M

1 2 2 x

的一個(gè)特征值為3，求M 的另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

Answer 1

分析：根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一個(gè)特征值為λ₂=-1．最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

解答：解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為
f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-x

.

=（λ-1）（λ-x）-4．
∵λ₁=3方程f（λ）=0的一根，
∴（3-1）（3-x）-4=0，可得x=1，M=

1 2 2 1

．
∴方程f（λ）=0即（λ-1）（λ-1）-4=0，λ²-2λ-3=0
可得另一個(gè)特征值為：λ₂=-1，
設(shè)λ₂=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=

x′ y′

，
則由λ₂α=Mα，得

-2x-2y=0 -2x-2y=0

得x=-y，可令x=1，則y=-1，
所以矩陣M的另一個(gè)特征值為-1，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=

1 -1

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的矩陣，在知其一個(gè)特征值的情況下求另一個(gè)特征值和相應(yīng)的特征向量，考查了特征值與特征向量的計(jì)算的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．