Question

已知圓的方程x²+y²=25，點A為該圓上的動點，AB與x軸垂直，B為垂足，點P分有向線段BA的比λ=

3

2

．
（1）求點P的軌跡方程并化為標準方程形式；   
（2）寫出軌跡的焦點坐標和準線方程．

Answer 1

分析：（1）設出P點坐標和A點坐標，利用定比分點公式把A的坐標用P的坐標表示，代入圓的方程后可得點P的軌跡方程；
（2）由橢圓方程得到長半軸和短半軸，從而得到半焦距，則答案可求．

解答：解：（1）設點P（x，y）是軌跡上任意一點，點A的坐標是（x₁，y₁），點B的坐標是（x₁，0），
∵點P分有向線段BA的比λ=

3

2

，
∴

x=x1 y= 0+ 3 2 y1 1+ 3 2

，∴

x1=x y1= 5 3 y

，
又點A在圓x²+y²=25上，∴x²+

25

9

y2=25，
即

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）；
（2）由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，知a²=25，b²=9，
∴c=4，則橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點坐標是（-4，0），（4，0），準線方程是x=±

a2

c

=±

25

4

．

點評：本題考查了代入法求軌跡方程，訓練了定必分點公式的用法，是中檔題．