Question

已知圓的方程x²+y²=4，若拋物線過定點A（0，1），B（0，-1）且以圓的切線為準線，則拋物線焦點的軌跡方程是（　　）

• A．

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（y≠0）
• B．

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（y≠0）
• C．

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（x≠0）
• D．

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（x≠0）

Answer 1

分析：設出切線方程，表示出圓心到切線的距離求得a和b的關系，設出焦點坐標，根據拋物線的定義求得點A，B到準線的距離等于其到焦點的距離，然后兩式平方后分別相加和相減，聯立后求得x和y的關系式．

解答：解：設切點為（a，b），∴a²+b²=4，則切線為：ax+by-4=0
設焦點（x，y），由拋物線定義可得：x²+（y-1）²=

|b-4|2

4

…①，
x²+（y+1）² =

|b+4|2

4

…②，
消去b得，

x2

3

+

y2

4

=1
∵焦點不能與A，B共線，∴x≠0
∴拋物線的焦點軌跡方程為

x2

3

+

y2

4

=1（x≠0）
故選C．

點評：本題主要考查了拋物線的定義，點到直線的距離公式，兩點間距離公式，曲線與方程的思想，橢圓的標準方程，考查了學生綜合分析問題的能力，屬于中檔題．