Question

已知圓的方程x²+y²=25，過M（-4，3）作直線MA，MB與圓交于點A，B，且MA，MB關于直線y=3對稱，則直線AB的斜率等于

 

．

Answer 1

分析：不難看出M在圓上，MA，MB關于直線y=3對稱，則直線MA，MB的斜率相反，
得到兩條直線方程，解出A、B 坐標，可求直線AB的斜率．

解答：解：由題意可知：M在圓上，MA，MB關于直線y=3對稱，則直線MA，MB的斜率相反，
設直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為-k，MA的方程：kx-y+4k+3=0，
MB的方程：kx+y-4k-3=0．
聯立MA和圓的方程即：

kx-y+4k+3=0 x2+y2=25

M（-4，3）設A（x₂，y₂）
消y可得 x²+k²x²+（8k²+6k）x+（4k+3）²-25=0
由韋達定理知x2-4=-

8k2+6k

1+k2

，x2=-

8k2+6k

1+k2

+4
y2=k( -

8k2+6k

1+k2

+4)+4k+4
同理B（x₃，y₃）∴x3=-

8k2-6k

1+k2

+4
y3=-k( -

8k2-6k

1+k2

+4)-4k+4
直線AB的斜率為：

y3-y2

x3-x2

=

-k( - 8k2-6k 1+k2 +4)-4k+4- (k( - 8k2+6k 1+k2 +4)+4k+4)

- 8k2-6k 1+k2 +4- (- 8k2+6k 1+k2 +4)

=-

16

12

=-

4

3

故答案為：-

4

3

．

點評：本題考查直線與圓的方程及其應用，直線的斜率，思路清晰解答麻煩，稍有疏忽就會出錯，是中檔題．