Question

已知圓的方程x²+y²=4，若拋物線過點A（0，-1），B（0，1）且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點軌跡方程是（　　）

• A、

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（y≠0）
• B、

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（y≠0）
• C、

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（x≠0）
• D、

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（x≠0）

Answer 1

分析：設出切線方程，表示出圓心到切線的距離求得a和b的關系，設出焦點坐標，根據拋物線的定義求得點A，B到準線的距離等于其到焦點的距離，然后兩式平方后分別相加和相減，聯立后求得x和y的關系式．

解答：解：設切線ax+by-1=0，圓心到切線距離等于半徑

1

a2+b2

=2
∴

a2+b2

=

1

2

，∴a²+b²=

1

4

設焦點（x，y），拋物線定義，

(y+1)2+x2

=

|-a-1|

a2+b2

(y-1)2+x2

=

|a-1|

a2+b2

平方相加得：2x²+2+2y²=8（a²+1）
相減得：4y=16a，a=

y

4

所以2x²+2+2y²=8（

y2

16

+1）
即：

x2

3

+

y2

4

=1
依題意焦點不能與A，B共線
∴x≠0
故拋物線的焦點軌跡方程為

x2

3

+

y2

4

=1(x≠0)
故選C

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程．考查了學生數形結合的思想及綜合分析問題的能力．