Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點， 為坐標原點，點在橢圓上，線段與軸的交點滿足．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）圓是以為直徑的圓，一直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點、，當，且滿足時，求的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用平面向量共線得到是線段的中點，再利用三角形的中位線和待定系數法進行求解；（Ⅱ）先利用直線與圓相切得到，再聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，再利用平面向量的數量積和判別式為正、三角形的面積公式得到有關表達式，再利用函數的單調性進行求解.

試題解析：（Ⅰ）因為，所以 是線段的中點，所以是的中位線，又所以,所以，又因為 ，

解得，所以橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）因為直線與相切，所以，即

聯立得.

設

因為直線與橢圓交于不同的兩點、，

所以，

，

，又因為，所以

解得.

，

設，則單調遞增，

所以，即