Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC． （Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設 則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
方程兩邊同乘以2R
∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c
整理得a2=b2+c2+bc
∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA
故cosA=﹣ ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC
=sinB+sin（60°﹣B）
= cosB+ sinB
=sin（60°+B）
故當B=30°時，sinB+sinC取得最大值1
【解析】（Ⅰ）根據正弦定理，設 ，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc 再與余弦定理聯立方程，可求出cosA的值，進而求出A的值．（Ⅱ）根據（Ⅰ）中A的值，可知c=60°﹣B，化簡得sin（60°+B）根據三角函數的性質，得出最大值．