Question

【題目】如圖，三棱柱中，底面為正三角形， 底面，且， 是的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面；

（3）在側棱上是否存在一點，使得三棱錐的體積是？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）連接交于點，連，由三角形中位線的性質得，再根據線面平行的判定可得結論。（2）先證平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面。（3）假設存在點滿足題意，不妨設,由可得，從而可得點確實存在，且。

試題解析：

（1）如圖,連接交于點，連。

由題意知,在三棱柱中,平面,

∴四邊形為矩形,

∴點為的中點.

∵ 為的中點,

∴.

∵ 平面,平面.

∴ 平面.

（2）∵底面為正三角形,是的中點,

∴,

∵ 平面,平面,

∴ .

∵ ,

∴ 平面,

∵ 平面,

∴平面平面.

（3）假設在側棱上存在一點,使三棱錐的體積是.

設。

∵ ,,

∴ ,

即,

解得,

即.

∵ ,

∴ 在側棱上存在一點,使得三棱錐的體積是,此時.