Question

【題目】已知函數(shù)（）

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分類討論可得：

時(shí)， 的增區(qū)間為 ，減區(qū)間為；

時(shí)， 的增區(qū)間為；

時(shí)， 的增區(qū)間為 ，減區(qū)間為；

時(shí)， 的增區(qū)間為上單增，減區(qū)間為.

(2)對函數(shù)求導(dǎo)，由根與系數(shù)的 關(guān)系： ，據(jù)此有： ，分離系數(shù)： ，構(gòu)造新函數(shù)，利用恒成立的條件可得.

試題解析：

解：（1），

令，得， ，

當(dāng)，即時(shí)，在 上， ，在上，此時(shí)， 的增區(qū)間為 ，減區(qū)間為；

當(dāng)，即時(shí)，在上，此時(shí)， 的增區(qū)間為；

當(dāng)，即時(shí)，在 上，在上，此時(shí)， 的增區(qū)間為 ，減區(qū)間為；

當(dāng)，即時(shí)，在上，在 ，此時(shí)， 的增區(qū)間為上單增，減區(qū)間為.

（2），

有兩個(gè)極值點(diǎn)，

是方程的兩個(gè)不相等實(shí)根，

∴，且，

由，得

整理得 ，

將代入得 ，

因?yàn)?/span>，所以

于是對恒成立，

令，則，

所以 ， 在單減，

所以 ,

因此 .