Question

若關(guān)于x的不等式x²+|x³-2x²|≥ax-4在x∈[1，10]內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式

分析：分離參數(shù)a，把不等式變形為a≤x+

4

x

+|x²-2x|，只需a小于等于x+

4

x

+|x²-2x|的最小值即可．

解答： 解：由x²+|x³-2x²|≥ax-4在x∈[1，10]內(nèi)恒成立，
∴a≤x+

4

x

+|x²-2x|，
而x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2∈[1，10]時(shí)取等號，
且|x²-2x|≥0，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=2∈[1，10]時(shí)成立；
所以x+

4

x

+|x²-2x|的最小值為4，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=2∈[1，10]時(shí)成立．
故a實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，4]．
故答案為：（-∞，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題以及絕對值不等式的解法、基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，本題中要注意等號須同時(shí)成立．