Question

某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系位學(xué)生參加（和都是固定的正整數(shù)）。假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到。記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為
（1）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；
（2）求使取得最大值的整數(shù)。

Answer 1

（1）     （2）見解析

本題是概率壓軸題，難度大，文字多，考生不一定能夠有時(shí)間去讀懂，不僅如此還考查到了分類討論思想，難度更高一層，但細(xì)細(xì)想來，它也就那回事．第（1）題該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息要從反面角度去思考，沒有收到信息的概率是什么，由于A和B是相互獨(dú)立，，沒有收到信息的概率正好是，所以最后的結(jié)果就能求出；第（2）題考查的考點(diǎn)比較多，而且和都是變量，遇到變量就要做好討論的準(zhǔn)備，于是本題要從和兩個(gè)角度考慮．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者，從而表示出，接著要根據(jù)題意找出不等關(guān)系：，化簡(jiǎn)分離出，而是否為整數(shù)，需要討論，還需要考慮是否成立的問題，于是，接下來一方面需要討論是否為整，另一方面要證明，詳細(xì)的解答如下．
設(shè)事件A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”，事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”，由題意A和B是相互獨(dú)立的事件，則與 相互獨(dú)立，
而
所以
因此，學(xué)生甲收到活動(dòng)通知信息的概率為
．
當(dāng)時(shí)，只能取，有
當(dāng)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者．“李老師和張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)活動(dòng)通知信息給位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為．
當(dāng)時(shí)，同時(shí)收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為，則由乘法計(jì)數(shù)原理知：事件所含基本事件數(shù)為
此時(shí)
當(dāng)，
化簡(jiǎn)解得
假如成立，
則當(dāng)能被整除時(shí)，
，故在和處達(dá)到最大值；
則當(dāng)不能被整除時(shí)，在處達(dá)最大值．（注：表示不超過的最大整數(shù)）．
下證：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044546219500.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
，故，顯然．
因此．
點(diǎn)評(píng)：考查古典概型，計(jì)數(shù)原理，分類討論思想等基礎(chǔ)知識(shí)．，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力．