Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在處的切線方程；

（2）對于任意，恒成立，求的取值范圍；

（3）試討論函數的極值點的個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）解答見解析

【解析】

（1）由題意，當時，可得，求得，且，利用點斜式方程，即可求解；

（2）由，恒成立，轉化為即在上恒成立，令，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解；

（3）由，得到則，令，得到，對分類討論，即可求解．

（1）由題意，當時，函數，

則，可得，且，

所以在處的切線方程．

（2）由，恒成立，

即在上恒成立，

令，則，

當，即時，在上恒成立，

所以在上單調遞增，所以，

當，即時，令，得（舍去）.

	-	0	+

所以當時，，不符合題意.

綜上可得，，即的取值范圍.

（3）由，

則，

令，則，

①當，即時，恒成立，∴在上單調遞增，

且，.

由零點存在性定理可知在上存在唯一的零點，不妨設為.

	-	0	+
		極小值

所以函數有一個極值點；

②當，即時，令，則.

	-	0	+
		極小值

所以函數的最小值為.

1*）當，即時，恒成立，

令，

由，得，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，得，

∴，

∴單調遞增，無極值點，即時，無極值點.

2*）當，即時，且.

∵，∴在上有唯一的零點.

下面先證：.

設，∴，

當時，單調遞減；

當時，單調遞增，

所以，即得證，

所以，

又因為，所以，

由零點存在性定理可知在上存在唯一零點，不妨設，

				1
	+	0	-	0	+

所以函數有兩個極值點；

3*）當時，且，，，

又由，

∴由零點存在性定理可知在與上各存在唯一零點，

同上2*）可知有兩個極值點.

綜上所述，當時，有一個極值點；當且時，有兩個極值點；當時，無極值點.