Question

已知函數f（x）=

ax+b

x

e^x，a，b∈R，且a＞0．
（1）若a=2，b=1，求函數f（x）的極值；
（2）設g（x）=a（x-1）e^x-f（x）．當a=1時，對任意x∈（0，+∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）a=2，b=1時求出f′（x）=0的根，根據導數的符號變化規律可求得極值點，進而得到極值；
（2）a=1時，g（x）≥1可化為b≤x2-2x-

x

ex

，記h（x）=x2-2x-

x

ex

（x＞0），從而問題轉化為b≤h（x）_min，利用導數即可求得最小值；

解答： 解：（1）當a=2，b=1時，f（x）=

2x+1

x

•ex，定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）．
∴f′（x）=-

1

x2

•ex+

2x+1

x

•ex=

(2x-1)(x+1)

x2

•ex．
令f′（x）=0，得x=-1或

1

2

，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞

1

2

；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0或0＜x＜

1

2

．
∴x=-1時f（x）取得極大值f（-1）=

1

e

，x=

1

2

時f（x）取得極小值f（

1

2

）=4

e

；
（2）∵g（x）=a（x-1）e^x-f（x）=（ax-

b

x

-2a）e^x，
當a=1時，g（x）=（x-

b

x

-2）e^x，
∵g（x）≥1在（0，+∞）上恒成立，
∴b≤x2-2x-

x

ex

在（0，+∞）上恒成立，
記h（x）=x2-2x-

x

ex

（x＞0），則h′（x）=

(x-1)(2ex+1)

ex

，
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是減函數；
當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函數．
∴h（x）_min=h（1）=-1-

1

e

．
∴b≤-1-

1

e

，即b的最大值為-1-

1

e

．

點評：該題考查利用導數研究函數的極值、最值，考查函數恒成立，考查轉化思想，恒成立問題往往轉化為函數最值解決．