Question

【題目】已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M.

(1)求拋物線的方程；

(2)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當K(m,0)是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解 (1)拋物線y2＝2px的準線為x＝－，

由題意得4＋＝5，所以p＝2，

所以拋物線的方程為y2＝4x.

(2)由題意知，圓M的圓心為點(0,2)，半徑為2.

當m＝4時，直線AK的方程為x＝4，

此時，直線AK與圓M相離；

當m≠4時，由(1)知A(4,4)，

則直線AK的方程為y＝ (x－m)，

即4x－(4－m)y－4m＝0，

圓心M(0,2)到直線AK的距離

d＝，

令d>2，解得m>1.

所以，當m>1時，直線AK與圓M相離；

當m＝1時，直線AK與圓M相切；

當m<1時，直線AK與圓M相交．