Question

【題目】設關于x的函數y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)＝的a的值，并求此時函數的最大值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解 令cosx＝t，t∈[－1,1]，

則y＝2t2－2at－(2a＋1)

＝2(t－)2－－2a－1，

關于t的二次函數的對稱軸是t＝，

當<－1，即a<－2時，

函數y在t∈[－1,1]上是單調遞增，

所以f(a)＝f(－1)＝1≠；

當>1，即a>2時，

函數y在t∈[－1,1]上是單調遞減，

所以f(a)＝f(1)＝－4a＋1＝，

解得a＝，這與a>2矛盾；

當－1≤≤1，即－2≤a≤2時，

f(a)＝－－2a－1＝，

即a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3，

因為－2≤a≤2，所以a＝－1.

所以y＝2t2＋2t＋1，t∈[－1,1]，所以當t＝1時，

函數取得最大值ymax＝2＋2＋1＝5.