Question

【題目】已知函數

(1)求證：函數f(x)-g(x)必有零點；

(2)設函數G(x)=f(x)-g(x)-1

①若函數G(x)有兩相異零點且在上是減函數，求實數m的取值范圍。

②是否存在整數a,b使得的解集恰好為若存在，求出a,b的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①（﹣∞，0]∪[2，+∞）；②或.

【解析】

（1）判斷對應方程的△與0的關系，易得結論；

（2）由函數f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m，我們易給出函數G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1，①若|G（x）|在[﹣1，0]上是減函數，根據對折變換函數圖象的特征，我們分△≤0和△＞0兩種情況進行討論，可得到滿足條件的m的取值范圍；②若a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，則將a，b代入消去m，可以求出a，b的值．

證明：（1）f（x）﹣g（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+3﹣m．

令f（x）﹣g（x）＝0．

則△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0恒成立．

所以方程f（x）﹣g（x）＝0有解．

所以函數f（x）﹣g（x）必有零點．

（2）①G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m．

①令G（x）＝0，△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）（m﹣6）．

當△≤0，即2≤m≤6時，G（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m≤0恒成立，

所以|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．

因為|G（x）|在[﹣1，0]上是減函數，所以0．解得m≥2．

所以2≤m≤6．

當△＞0，即m＜2或m＞6時，|G（x）|＝|x2﹣（m﹣2）x+m﹣2|．

因為|G（x）|在[﹣1，0]上是減函數，

所以方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣2＝0的兩根均大于零或一根大于零另一根小于零

且x1．

所以或

解得m＞2或m≤0．

所以m≤0或m＞6．

綜上可得，實數m的取值范圍為（﹣∞，0]∪[2，+∞）．

②因為a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，

所以

由

消去m，得ab﹣2a﹣b＝0，顯然b≠2．

所以a1．

因為a，b均為整數，所以b﹣2＝±1或b﹣2＝±2．

解得或或或因為a＜b，且ab

所以或