Question

在區(qū)間[0，2]內(nèi)隨機取一個數(shù)a，則使得函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²-2a²x+

10

3

有三個零點的概率為（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：利用導數(shù)求出函數(shù)存在三個零點的等價條件，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=x²-ax-2a²=（x+a）（x-2a），
∵a是正數(shù)，
∴由f′（x）=（x+a）（x-2a）＞0得x＞2a或x＜-a，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=（x+a）（x-2a）＜0得-a＜x＜2a，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則當x=-a時，函數(shù)f（x）取得極大值f（-a）=

7

6

a3+

10

3

＞0，
當x=2a時，函數(shù)f（x）取得極小值f（2a）=-

10

3

a³+

10

3

，
要使f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²-2a²x+

10

3

有三個零點，則函數(shù)的極大值大于0且極小值小于0，
此時只需要極小值f（2a）=-

10

3

a³+

10

3

＜0，解得a＞1，即1＜a≤2，
∴在區(qū)間[0，2]內(nèi)隨機取一個數(shù)a，則使得函數(shù)f（x）有三個零點的概率為

2-1

2-0

=

1

2

，
故選：C

點評：本題主要考查幾何概型的概率計算，以及三次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)存在三個零點的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．