Question

已知過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點且傾斜角為45°的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A、（1，

  3

  ）
• B、（1，

  3

  ]
• C、（1，

  2

  ]
• D、（1，

  2

  ）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即

b

a

＜，求得a和b的不等式關系，進而根據(jù)b=

c2-a2

轉化成a和c的不等式關系，求得離心率的一個范圍，最后根據(jù)雙曲線的離心率大于1，綜合可得求得e的范圍．

解答： 解：要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即

b

a

＜tan45°=1，即b＜a
∵b=

c2-a2

∴

c2-a2

＜a，
整理得c＜

2

a
∴e=

c

a

＜

2

∵雙曲線中e＞1
∴e的范圍是（1，

2

）．
故選：D．

點評：本題以雙曲線為載體，考查了雙曲線的簡單性質．在求離心率的范圍時，注意雙曲線的離心率大于1．